CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN APLIKASI TURUNAN

Contoh Soal  1 : 

Carilah ukuran silinder tegak dengan volume sebesar mungkin yang dapat diletakkan di dalam sebuah kerucut lingkaran tegak.

Penyelesaian :

Misalnya a tinggi dan b jari-jari dari alas kerucut yang diketahui (dua-duanya konstanta). Nyatakan tinggi, jari-jari dan volume dari silinder yang dimasukkan, masing-masing sebagai h, r dan V (lihat gambar ).

≈ Sebelum melanjutkan, marilah kita terapkan beberapa intuisi. Jika jari-jari silender dekat terhadap jari-jari alas kerucut, maka volume silinder akan dekat ke nol. Sekarang bayangkansilinder yang dimasukkan dengana tinggi yang membesar, tetapi jari-jari mengecil. Pada awalnya volume akan membesar dari nol,tetapi kemudian akan mengecil ke nol ketika tinggi silinder menjadi dekat ke tinggi kerucut. Secar intuisi volume seharusnya memuncak untuk suatu silinder. Karena jari-jari diperlukan dalam rumus volume, dia diperhitungkan lebih besar daripada tinggi dan kita mengharapkan r > h pada maksimum.

Volume silinder yang dimasukkan adalah

V=¶r²h

Dari segitiga-segitiga sebangun,

(a-h)/r = a/b

yang memberikan          

h=a -  (a/b) r

, ketika kita mensubtitusikan ekspresi untuk h ini dalam rumus V, kita peroleh

V= ¶r²(a -  (a/b) r) = ¶ar² - ¶(a/b) r³

kita ingin memasukkan V untuk r dalam interval [0,b] sekarang      

dV/dr=2¶ar – 3 ¶(a/b)r² = ¶ar ( 2- 3r/b )

 

Ini menghasilkan titik stasioner r= 0 dan r= 2b/3, yang memberikan tiga titik kritis pada [0,b] yang harus ditinjau : 0, 2b/3harus memberikan volume maksimum . ketiak kita subtitusikan nilai untuk r ini dalm persamaan yang menghubungkan r dan h, kita temukan bahwa h= a/3. Dalam perkataan lain, silinder yang dimasukkan mempunyai volume terbesar ketika jari-jarinya adalah dua-pertiga jari-jari alaskerucut dan tingginya sepertiga tinggi kerucut.